พาราโบลา

พาราโบลา

บทนิยาม : พาราโบลาคือเซตของจุดทุกจุดบนระนาบ ซึ่งอยู่ห่างจากเส้นตรงที่เส้นหนึ่งบนระนาบและจุดคงที่จุดหนึ่งบนระนาบนอกเส้นตรงคงที่นั้น เป็นระยะทางเท่ากับเสมอ

ส่วนประกอบของพาราโบลา

- เส้นคงที่ เรียกว่า ไดเรกตริกซ์ของพาราโบลา - จุดคงที่ (F) เรียกว่า โฟกัสของพาราโบลา - แกนของพาราโบลา คือเส้นตรงที่ลากผ่านโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ - จุดยอด (V) คือจุดยอดที่พาราโบ-ลาตัดกับแกนของพาราโบลา - เลตัสเรกตัม (AB) คือส่วนของเส้น ตรงที่ผ่านโฟกัส และ มีจุดปลายทั้ง สองอยู่บนพาราโบลา และตั้งฉากกับ แกนของพาราโบลา - เส้นตรงที่ผ่านจุดโฟกัส และตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ เรียกว่า แกนของพาราโบลา

พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0,0) สมการของพาราโบลาที่มีจุดยอด อยู่ที่ (0,0) แกนของพาราโบลา คือแกน x หรือ แกน y ซึ่งสามารถ แบ่งออกได้เป็น 4 ลักษณะ ดังนี้ ก. แกนของพาราโบลาคือแกน x และ โฟกัสอยู่ที่ (c,o) เมื่อ c > o ไดเรกตริกซ์ คือ เส้นตรง x = -c กราฟของพาราโบลาเปิดขวา

ให้ P (x,y) เป็นจุดใดๆ บนพาราโบลา PR = PQ

การหาสมการของพาราโบลาที่จุดยอดที่จุด (h,k) และมีแกนขนานกับ แกน x หรือแกน y 1. เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน x

รูปที่ 1 แสดงพาราโบลาเมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h,k) โฟกัส อยู่ที่ (h + c,k) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง ที่ x = h - c ย้ายแกน ให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับโฟกัสเท่ากับ |c|หน่วย ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ (y') 2 = 4cx' แต่ถ้าพิกัดของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิมคือ (x,y) จะได้ว่า y' = y - k และ x' = x - h ดังนั้น สมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(y - k) 2 = 4c (x - h)

เมื่อ c > 0  

รูปที่ 2 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับ ข้อ 1 สมการของพาราโบลาคือ

(y - k) 2 = 4c (x - h)

เมื่อ c < 0 

จากสมการ (y - k) 2 = 4c (x - h) กระจายได้ y2 - 2ky + k2 = 4cx - 4ch y2 - 2ky + - 4cx + k2 + 4ch = 0 เมื่อ A = -2k , B = -4c , C = k2 + 4ch จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0

จะได้ สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับ แกน x จะได้ สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 

2.เมื่อแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y

รูป 3 แสดงพาราโบลา เมื่อ c > 0

ให้ จุดยอด อยู่ที่ (h , k) โฟกัสอยู่ที่ (h , k + c) ไดเรกตริกซ์เป็นเส้นตรง y = k - c ย้ายแกนให้จุด (0,0) เลื่อนไปที่จุด 0' (h,k) ระยะห่างระหว่างจุดยอดกับ โฟกัสเท่ากับ ฝcฝหน่วย ดังนั้น สมการของพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม่คือ (x') 2 = 4cy' แต่ถ้าพิกัด ของ P เมื่อเทียบกับแกนเดิม คือ (x,y) จะได้ว่า x' = x - h และ y' = y - k ดังนั้นสมการของพาราโบลา เทียบกับแกนเดิมคือ

(x - h) 2 = 4c (y - k)

เมื่อ c > 0 

รูป 4 แสดงพาราโบลา เมื่อ c < 0

ด้วยวิธีการเลื่อนแกนทางขนาน เช่นเดียวกับข้อ 2 สมการของพาราโบลา คือ

(x - h) 2 = 4c (y - k) เมื่อ c < 0

เมื่อ c < 0  

จากสมการ (x - h) 2 = 4c (y - k) กระจายได้ x2 - 2hx + h2 = 4cy - 4ck x2 - 2hx - 4cy + h2 + 4ck = 0 เมื่อ A = -2k , B = -4c , c = h2+ 4ck จะได้ y2 + Ay + Bx + C = 0 เมื่อ ดังนั้น สมการของพาราโบลาที่มีแกนของพาราโบลา ขนานกับแกน y จะได้สมการของพาราโบลา ในรูปทั่วไป

y2 + Ay + Bx + C = 0

เมื่อ B ไม่เท่ากับ 0 

สรุป : รูปแบบและลักษณะของพาราโบลา ที่มีจุดยอดอยู่ที่ (h,k)

       ข้อสังเกต 1. การดูลักษณะของพาราโบลา ว่าจะหงาย คว่ำ เปิดด้านขวา หรือด้านซ้าย ให้ดูแกนของพาราโบลา และเครื่องหมายของ c 2. การดูแกนของพาราโบลา ให้ดูตัวแปรในสมการว่าตัวแปรใดมีกำลังสูงสุดเท่ากับหนึ่ง แกนของพาราโบลา จะขนานกับแกนพิกัดของ ตัวแปรนั้น เช่น (x-h) 2 = 4c (y-k) จะมีแกนของพาราโบลาขนานกับแกน y เป็นต้น 3. |c| = c = ระยะห่างระหว่าง จุดยอดและโฟกัส = ระยะห่างระหว่างจุดยอดและไดเรกตริกซ์ 4. การหาพิกัดของโฟกัสและสมการไดเรกตริกซ์ เพียงแต่ใช้จุดยอด และ |c| เป็นหลักในการหาก็เพียงพอ